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函数导数!导数在函数中应用

导读:本文是一篇函数导数论文范文,可作为选题参考。

2012年高考新课标数学(文)第13题_中_复合函数求导_对数函数导数_定点切线方程 视频 : 导数 1、★导数在高中数学中的应用2、★导数在数学含参中的应用…………………………3、★导数含参变量复习课的教学反思4、★关于导数在生活中的应用

甘肃省古浪县第五中学733100

[摘 要]新课程利用导数求曲线的切线,判断或论证函数的单调性,函数的极值和最值.导数是分析和解决问题的有效工具.

[关键词]导数;函数的切线;单调性;极值和最值

导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想.新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具.函数是中学数学研究导数的一个重要载体,函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法.近年好多省的高考题中都出现以函数为载体,通过研究其图像性质,来考查学生的创新能力和探究能力的试题.本人结合教学实践,就导数在函数中的应用作个初步探究.

有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线,判断函数的单调性,求函数的极值和最值,利用函数的单调性证明不等式,这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标”下高考的重点.

1用导数求函数的切线

例1已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

思维启迪由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.

解(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,

又f(2)=-2,

∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,

即x-y-4=0.

1方法提升:函数y等于f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y等于f(x)在点P(x0,y等于f(x0))处的切线的斜率.既就是说,曲线y等于f(x)在点P(x0,y等于f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),相应的切线方程为y-y0等于f′(x0)(x-x0).

2用导数判断函数的单调性

例2已知函数f(x)=ex-ax-1.

(1)求f(x)的单调增区间;

(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.

思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论.

解f′(x)=ex-a,

(1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,

即f(x)在R上单调递增,

若a>,0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.

因此当a≤0时,f(x)的单调增区间为R,

当a>,0时,f(x)的单调增区间是[lna,+∞).

(2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.

∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.

又∵-2<,x<,3,∴e-2<,ex<,e3,只需a≥e3.

当a=e3时,f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,

f′(x)<,0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3.

故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上为减函数.

2方法提升:利用导数判断函数的单调性的步骤是:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>,0和f′(x)<,0;(4)确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.

3用导数求函数的极值

例3已知函数f(x)=xlnx.求函数f(x)的极值点;

解f′(x)=lnx+1,x>,0,

由f′(x)=0得x=1e,

所以f(x)在区间(0,1e)上单调递减,在区间(1e,+∞)上单调递增.

所以,x=1e是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.

3方法提升:求可导函数极值的步骤是:(1)确定函数定义域,求导数f′(x);(2)求f′(x)等于0的所有实数根;(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根(如x0)的左右侧,导函数f′(x)的符号如何变化,如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值..注意:如果f′(x)等于0的根x等于x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.

4用导数求函数的最值

已知函数f(x)=(x-k)ex.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

思维启迪(1)解方程f′(x)=0列表求单调区间;(2)根据(1)中表格,讨论k-1和区间[0,1]的关系求最值.

解(1)由题意知f′(x)=(x-k+1)ex.

令f′(x)=0,得x=k-1.[2分]

f(x)与f′(x)的情况如下:

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).

(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<,k-1<,1,即1<,k<,2时,

f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;

当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.

综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;

当1<,k<,2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;

当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.

4、方法提升:用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题:

第一步:求函数f(x)的导数f′(x);

第二步:求f(x)在给定区间上的单调性和极值;

第三步:求f(x)在给定区间上的端点值;

第四步:将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;

5证明不等式

已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).

(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;

(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤16x3.

06 指数与对数函数导数,对数微分法 视频时长:47:56 06 指数与对数函数导数,对数微分法 播放:33366次 评论:8424人

(1)解令h(x)=sinx-ax(x≥0),则h′(x)=cosx-a.

若a≥1,h′(x)=cosx-a≤0,h(x)=sinx-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0,则sinx≤ax(x≥0)成立.

若0<,a<,1,存在x0∈(0,π2),使得cosx0=a,当x∈(0,x0),

h′(x)=cosx-a>,0,h(x)=sinx-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>,h(0)=0,不合题意,

结合f(x)与g(x)的图象可知a≤0显然不合题意,

综上可知,a≥1.

(2)证明当a取(1)中的最小值1时,g(x)-f(x)=x-sinx.

5方法提升:利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型.其方法可以归纳为“构造函数,利用导数研究函数最值”.

函数导数公式:05 隐函数微分法和逆函数导数

总之,导数作为一种工具,在解决数学问题时使用非常方便,尤其是可以利用导数来解决函数的单调性,极值,最值以及切线问题.在导数的应用过程中,要加强对基础知识的理解,重视数学思想方法的应用,达到优化解题思维,简化解题过程的目的,更在于使学生掌握一种科学的语言和工具,进一步加深对函数的深刻理解和直观认识.

[参考资料]

[1]普通高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社)

[2]高中数学教学参考

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